Названия заданий ОГЭ по математике 2023: полный перечень и примеры

ОГЭ по математике – это важный этап в жизни каждого ученика, который проходит обязательное государственное тестирование. Для успешной подготовки необходимо знать структуру экзамена и названия заданий. В этой статье мы рассмотрим полный перечень заданий ОГЭ по математике 2023 и предоставим примеры.

ОГЭ по математике состоит из нескольких разделов, каждый из которых включает в себя определенные типы заданий. Всего на экзамене предлагается решить 27 заданий за 3 часа. Задания могут быть разного уровня сложности: от базового до профильного.

Первый раздел экзамена – «Числовые выражения и уравнения». В этом разделе ученик должен продемонстрировать свои навыки работы с числами, алгебраическими выражениями и решением уравнений. Примеры заданий данного раздела: «Вычисление значения выражения», «Решение уравнения с параметром».

Пример задания раздела «Числовые выражения и уравнения»:

Задание: Вычислите значение выражения 2x^2 — 3x + 5 при x = 2.

Ответ: Подставляем значение x = 2 вместо x в исходное выражение: 2 * 2^2 — 3 * 2 + 5 = 2 * 4 — 6 + 5 = 8 — 6 + 5 = 7.

Задание 1: Анализ функций и графиков

Задание 1 ОГЭ по математике посвящено анализу функций и графиков. Вам будет предложено решить несколько задач, связанных с изучением свойств и поведения функций.

Примеры заданий

Для лучшего понимания того, какие задачи вас ожидают в задании 1, рассмотрим несколько примеров:

1. Найти все значению параметра a, при которых функция f(x) = ax^2 — 5x + 3 имеет только один корень.
2. Определить значения x, при которых функции f(x) = 3x^2 + 4x + 2 и g(x) = x^2 — 7x + 6 пересекаются.
3. Исследовать функцию f(x) = (x — 2)(x — 4)(x + 1) на периодичность и наличие экстремумов.

Ключевые понятия

Для успешного решения задач по анализу функций и графиков необходимо знать следующие ключевые понятия:

• Корни уравнения.
• График функции.
• Поведение функции в различных областях определения.
• Максимумы и минимумы функции.
• Построение графика функции.

Стратегия решения задач

Для успешного решения задачи 1 по анализу функций и графиков рекомендуется следовать следующей стратегии:

1. Внимательно прочитайте условия задачи.
2. Выделите ключевую информацию и данные.
3. Используйте полученные данные для решения поставленной задачи.
4. Проверьте свое решение и приведите ответ в нужной форме (если требуется).

Не забывайте о том, что практика решения подобных задач поможет вам освоить навыки анализа функций и графиков. Успехов в подготовке к ОГЭ по математике!

Задание 2: Решение уравнений и неравенств

Второе задание ОГЭ по математике 2023 года посвящено решению уравнений и неравенств. Данное задание проверяет навыки обращения с уравнениями и неравенствами, а также умение находить решения в заданных ограничениях.

Задачи задания 2

В задании 2 встречаются следующие типы задач:

• Решение линейных уравнений с одной переменной;
• Решение систем линейных уравнений;
• Решение квадратных уравнений;
• Решение уравнений с модулем;
• Решение неравенств;
• Решение систем неравенств.

Каждая задача представлена в виде текстового описания и требует от участника найти значения переменных, при которых уравнение или неравенство выполняются.

Примеры задач

Приведем несколько примеров задач, которые могут встретиться в задании 2:

1. Решите уравнение: 3x — 2 = 7.
2. Решите систему уравнений:
   1. 2x + y = 5,
   2. x — y = 1.
3. Решите квадратное уравнение: x^2 — 4x + 3 = 0.
4. Решите уравнение с модулем: |x — 5| = 3.
5. Решите неравенство: 2x + 3 < 7.
6. Решите систему неравенств:
   1. x + y >= 5,
   2. 2x — y < 3.

Стратегия решения задачи

Для успешного решения задачи 2, рекомендуется:

1. Внимательно прочитать условие задачи;
2. Сформулировать уравнение или неравенство, основываясь на условии задачи;
3. Применить соответствующую стратегию решения (замена переменных, использование свойств уравнений и неравенств, графическое представление и т. д.);
4. Найти решения и проверить их соответствие условию задачи;
5. Записать ответ в требуемом формате.

Задание 2 требует от участника не только хорошего понимания математических концепций, но и умения применять их на практике. Практика решения подобных задач поможет учащимся подготовиться к ОГЭ и улучшить свои результаты.

Задание 3: Геометрические преобразования

В данном задании требуется выполнить геометрические преобразования для решения задачи.

Условие задачи:

На плоскости даны точки A(-3, 1) и B(4, 2). Требуется выполнить следующие действия:

1. Построить прямую AB и отразить ее относительно оси OY. Обозначить полученную прямую как AB’.
2. Найти точку пересечения прямой AB и AB’ и обозначить ее как M.
3. Отразить точку A относительно прямой AB’ и обозначить полученную точку как A’.
4. Вычислить расстояние между точками M и A’.

Решение задачи:

1. Построим прямую AB:

Точка	Координаты
A	(-3, 1)
B	(4, 2)

2. Отразим прямую AB относительно оси OY:

AB’ является отображением прямой AB относительно оси OY. При отражении координата x меняет знак, а координата y остается неизменной.

Уравнение прямой AB имеет вид:

y = kx + b

где k — это угловой коэффициент (количество единиц изменения y на 1 единицу изменения x), а b — свободный коэффициент (значение y при x = 0).

Для прямой AB, угловой коэффициент k вычисляется по формуле:

k = (y2 — y1) / (x2 — x1)

где (x1, y1) и (x2, y2) — координаты точек A и B соответственно.

Вычислим угловой коэффициент k для прямой AB:

k = (2 — 1) / (4 — (-3)) = 1/7

Теперь найдем свободный коэффициент b, подставив координаты точки A и угловой коэффициент:

1 = (1/7)(-3) + b

b = 2

Итак, уравнение прямой AB имеет вид:

y = (1/7)x + 2

Отразим прямую AB относительно оси OY, поменяв знак у коэффициента k:

y = -(1/7)x + 2

3. Найдем точку пересечения прямой AB и AB’.

Для этого решим систему уравнений:

Система уравнений:

y = (1/7)x + 2

y = -(1/7)x + 2

Избавимся от переменных, сложив обе части системы уравнений:

(1/7)x + 2 = -(1/7)x + 2

(1/7)x + (1/7)x = 0

2/7x = 0

x = 0

Подставим найденное значение x в одно из уравнений системы для нахождения y:

y = (1/7)(0) + 2

y = 2

Точка пересечения прямой AB и AB’ имеет координаты (0, 2) и обозначается как M.

4. Отразим точку A относительно прямой AB’.

Для этого построим прямую, проходящую через точку A и перпендикулярную прямой AB’.

Коэффициент углового коэффициента для этой прямой равен -1/k, где k — угловой коэффициент прямой AB’.

Подставляем найденные значения и координаты точки A в уравнение прямой:

y = -7x + b

1 = -7(-3) + b

b = -20

Итак, уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой AB’, имеет вид:

y = -7x — 20

Находим точку пересечения этой прямой с прямой AB’:

(-7)(x) — 20 = -(1/7)(x) + 2

-7x — 20 = -(1/7)x + 2

-(7/7)x + (1/7)x = 2 + 20

-(6/7)x = 22

x = -22(7/6)

Подставим найденное значение x в уравнение прямой:

y = -(1/7)(-22(7/6)) + 2

y = 4

Точка A’ имеет координаты (-22(7/6), 4).

5. Вычислим расстояние между точками M и A’.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:

d = √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)

Подставляем найденные координаты точек M и A’ в формулу:

d = √((-22(7/6) — 0)^2 + (4 — 2)^2)

d = √((22(7/6))^2 + 2^2)

d = √(484(49/36) + 4)

d = √(3364/36 + 4)

d = √(331 + 4)

d ≈ √335

d ≈ 18.30

Ответ: Расстояние между точками M и A’ составляет приблизительно 18.30.

Задание 4: Планиметрия и стереометрия

В задании 4 ОГЭ по математике 2023 года предлагается решить задачи, связанные с планиметрией и стереометрией. Задания данного раздела требуют умения работать с плоскими и пространственными геометрическими фигурами.

Примеры заданий:

1. На плоскости дан треугольник ABC. Найдите его площадь, используя формулу герона и длины его сторон:

   Сторона AB	Сторона BC	Сторона AC
   5 см	7 см	9 см

   Ответ: Площадь треугольника ABC равна 17.75 кв. см.

2. На плоскости даны два треугольника ABC и DEF. Известны длины сторон треугольника ABC: AB = 5 см, BC = 7 см, AC = 9 см. Найдите площадь треугольника DEF, подобного треугольнику ABC, если DF = 3 см.

   Ответ: Площадь треугольника DEF равна 1.78 кв. см.

3. Имеется цилиндрический бак, высота которого равна 10 метров, а радиус основания равен 2 метра. Найдите объем воды, который можно налить в бак, если его заполнить до полного объема.

   Ответ: Объем воды, который можно налить в бак, равен 125.66 куб. метров.

Задание 5: Вероятность и статистика

В этом задании тебе предстоит применить знания из тем вероятности и статистики. Задания данного типа позволяют проверить твою способность анализировать данные, построить различные графики, решать вероятностные задачи и интерпретировать полученные результаты.

В заданиях данного типа тебе может быть предложено:

• вычислить вероятность наступления события;
• построить диаграмму, график или таблицу на основе имеющихся данных;
• решить задачу на комбинаторику;
• проанализировать данные, провести статистический эксперимент и сделать выводы.

Для успешного выполнения заданий данного типа необходимо обладать хорошими знаниями основ вероятности, уметь работать с таблицами и графиками, а также быть внимательным и точным в решении математических задач.

Не забывай читать задание внимательно и в случае необходимости перечитывать его несколько раз, чтобы полностью понять, что от тебя требуется. Пользуйся привычными формулами и алгоритмами решения задач и не стесняйся использовать ручку и бумагу для записи промежуточных результатов.

Удачи в выполнении заданий по вероятности и статистике!

Задание 6: Последовательности и ряды чисел

В задании 6 ОГЭ по математике 2023 года требуется решить задачу, связанную с последовательностями и рядами чисел.

В данном задании можно столкнуться с различными типами задач, включая:

• Найти сумму элементов заданной последовательности;
• Определить, является ли числовая последовательность арифметической или геометрической прогрессией;
• Найти общий член последовательности.

Для решения задания обычно необходимо применять знания по формулам суммы арифметической и геометрической прогрессий, а также уметь анализировать характеристики последовательностей.

Пример задания:

Условие	Ответ
Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если первый член равен 5, а разность прогрессии равна 3.	95

Для решения данного примера нужно использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2

• где S_n — сумма n членов последовательности;
• a₁ — первый член последовательности;
• a_n — последний член последовательности;
• n — количество членов последовательности.

Подставляя значения в формулу, получим:

S₁₀ = (5 + 32) * 10 / 2 = 37 * 10 / 2 = 370 / 2 = 185

Таким образом, сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна 185.

Задание 7: Измерение времени и длительности

В задании 7 ОГЭ по математике 2023 года учащимся предлагается решить задачу, связанную с измерением времени и длительности.

Условие:

На экране телефона у ребят отображается текущее время. Каждую минуту на экране появляется новое число, обозначающее количество минут, прошедших с начала дня. Необходимо найти время, прошедшее с момента, когда ребята впервые увидели число, равное 10, до момента, когда они увидят число, равное 75.

Даны следующие данные:

1. Момент времени, когда ребята впервые увидели число 10: 12:35;
2. Момент времени, когда ребята увидят число 75: 14:20;
3. Ребята видят новое число каждую минуту.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить промежуток времени между моментами, когда ребята впервые увидели число 10 и число 75. Затем нужно вычислить количество минут в этом промежутке.

Сначала найдем количество минут, прошедших с начала дня, когда ребята увидят число 75. Для этого вычислим разницу между временем, когда ребята увидели число 75, и временем, когда они увидели число 10:

Момент времени	Время	Количество минут
Когда увидели число 10	12:35	—
Когда увидят число 75	14:20	—

Далее вычислим разницу между часами и минутами. Преобразуем время в минуты:

Момент времени	Время	Количество минут
Когда увидели число 10	12:35	12 * 60 + 35 = 755 минут
Когда увидят число 75	14:20	14 * 60 + 20 = 860 минут

Теперь мы можем вычислить разницу между временем, когда ребята увидят число 75 и временем, когда они увидели число 10:

Момент времени	Время	Количество минут
Когда увидели число 10	12:35	755 минут
Когда увидят число 75	14:20	860 минут
Разница	—	860 — 755 = 105 минут

Таким образом, время, прошедшее с момента, когда ребята впервые увидели число 10, до момента, когда они увидят число 75, составляет 105 минут.

Задание 8: Табличные и пространственные задачи

В заданиях этого типа требуется решить задачу, основанную на представлении данных в виде таблицы или на использовании пространственной модели. Задания помогают учащимся развить навыки анализа и интерпретации информации, а также способность к строительному мышлению.

Пример задания:

Задача:

На рисунке приведена таблица, в которой указаны результаты соревнований по футболу команды «Сокол» в разные годы. Найдите год, в котором команда заняла первое место по сумме очков.

Год	Место	Очки
2015	3	24
2016	2	28
2017	1	32
2018	4	18
2019	2	26

Решение:

Для решения задачи нужно найти год, в котором команда «Сокол» заняла первое место по сумме очков. Очки указаны в третьем столбце таблицы. Просмотрим значения в этом столбце и найдем наибольшее значение — 32.

Таким образом, команда «Сокол» заняла первое место по сумме очков в 2017 году.

Ответ: 2017

Задание 9: Функциональные зависимости и графики

В задании 9 по математике ОГЭ 2023 вам предстоит работать с функциональными зависимостями и графиками.

Теория:

Функциональная зависимость — это связь между двумя величинами (переменными), при которой изменение одной переменной вызывает изменение другой переменной. В математике это выражается через уравнение или график функции.

График функции представляет собой множество точек на координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты (значение аргумента, значение функции).

Примеры заданий:

1. Дана функция y = 2x — 3. Постройте график этой функции и определите значение функции при x = 5.

2. Даны значения функции при некоторых значениях аргумента: y = {(-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3)}. Определите функциональную зависимость и постройте график этой функции.

Подсказки:

• Для построения графика функции можно использовать координатную плоскость и соответствующую шкалу значений.
• Значение функции при заданном значении аргумента можно найти, подставив значение аргумента в уравнение функции и вычислив результат.
• Для определения функциональной зависимости можно использовать закономерности в изменении значений функции при изменении аргумента.

Задание 10: Арифметика и алгебраические выражения

Задание 10 на ОГЭ по математике проверяет навыки работы с арифметическими операциями и алгебраическими выражениями. Здесь требуется применить знания по упрощению выражений, раскрытию скобок, сокращению дробей, нахождению значений переменных и других основных навыков алгебры.

В задании 10 обычно представлено одно или несколько алгебраических выражений, сопровождаемых условием. Учащийся должен выполнить указанные в условии операции и найти окончательный результат или значения переменных.

Пример задания:

Условие:

Упростите выражение 2x² — 3x + 4 — (x² + 2x — 7) и найдите его значение при x = 3.

Решение:

1. Раскроем скобки и упростим выражение: 2x² — 3x + 4 — x² — 2x + 7.
2. Выполним сложение и вычитание с одинаковыми переменными: x² и 2x² => 3x²; -3x и -2x => -5x.
3. Получим упрощенное выражение: 3x² — 5x + 11.
4. Подставим значение x = 3 в упрощенное выражение: 3 * (3)² — 5 * 3 + 11.
5. Вычислим значение и получим ответ: 3 * 9 — 15 + 11 => 27 — 15 + 11 => 23.

Ответ: 23.

Таким образом, задание 10 проверяет понимание арифметических операций и навыки работы с алгебраическими выражениями.

Задание 11: Углы и треугольники

Описание задания

В задании 11 тебе предстоит работать с углами и треугольниками. Ты должен будет применить свои знания о свойствах углов и треугольников для решения задач.

Пример задания

Ниже приведен пример задания, чтобы ты мог понять, как именно нужно решать подобные задачи.

Пример:

Дан треугольник ABC. Известно, что угол A равен 60 градусов, а угол B равен 45 градусов. Найди значение угла C.

Условие	Ответ
Угол A	60 градусов
Угол B	45 градусов
Угол C	?

Решение: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит, угол C можно найти, вычтя из 180 градусов сумму углов A и B.

Угол C = 180° — 60° — 45° = 75°.

Таким образом, угол C в данной задаче равен 75 градусам.

Советы по решению задач

• В треугольнике сумма углов равна 180 градусов.
• Если в треугольнике один из углов равен 90 градусов, то треугольник называется прямоугольным.
• Если два угла треугольника равны между собой, то треугольник называется равнобедренным.